Funciones Inversas

Funciones Inversas (f ^-1 (x))

Sea F una funcion uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su funcion inversa f^-1 tiene dominio B y rango A y esta definida por : f^-1 (y)= x <===> f(x)= y

Ejemplo f(x)= 3x - 5

1) Intercambie f(x) por y

y= 3x-5

2) Intercambie la x con la y

x= 3y-5

3) Despejar para Y

x= 3y-5

x + 5/ 3 = 3Y/3

x + 5/ 3 = Y

4) Intercambie Y por f^-1 (x)

f^-1(x)= x + 5 /3

(f o f^-1) (x)= 3(x+5/3) - 5

= x + 5 - 5

(f o f^-1) (x)= x

Ejemplo

2) f(x) = 1/ x +2

a) y= 1 /x + 2

(y + 2) x = 1/ y +2 (y+2)

xy + 2x = 1

xy/x= 1- 2x/x

y= 1 - 2x/x

f^-1(x)= 1 - 2x/x

3) f(x)= 6-4x

y= 6 -4x

x= 6 - 4y

x-6/-4 = -4y/-4

x-6/-4= 4

f^-1(x)= x-6/-4

Composicion de funciones

Dadas dos funciones f y g, la funcion compuesta f o g (denominada, tambien la composicion de f o g) esta definida por:
(f o g)(x)= f(g(x))


El dominio de f o g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g(x) esta en el dominio de f. En otras palabras (f o g)(x) se define siempre que g(x) y f(g(x)) esten definidas:
ejemplo: Sea f(x)= x^2
g(x)=x-3


Encuentre:

1. (f o g)(x)= f(g(x))
= f(x-3)^2
= (x-3)(x-3)
(f o g)(x)=X^2-6x+9

2. (g o f)(x)= g(f(x))
= X^2-3
(g o f)(x)= X^2 -3

3. (f o g)(5)= f(g(5))
= (5-3)^2
= 2^2
(f o g)(5)= 4

4. (g o f)(7)= g(f(7))
= 7^2 -3
=49-3
(g o f)(7)= 46

5. (f o f)(x)= f(f(x))
= f(x^2)
= (x^2)^2
(f o f)(x)= X^4

6. (g o g)(x)= g(g(x))
= g(x-3)
= (x-3)-3
(g o g)(x)= x-6


f(x)= 2x^2 -3x
g(x)=x + 1

1. (f o g)(x)= F(g(x))
= 2(x+1)^2 -3(x+1)
= 2(x^2 + 2x +1) -3x-3
= 2x^2 + 4x +2 -3x-3
= 2x^2 + x -1

2. (g 0 f)(x)= g(f(x))
= 2x^2 - 3x +1


3. (f o f)(x)= f(f(X))
= 2(2x^2-3x)^2 -3(2x^2-3x)
= 2(4x^4-12x^3+9x^2) -6x^2 +9x
= 8x^4 -24x^3 +18x^2-6x^2 +9x
= 8x^4 - 24x^3 +12x^2 +9x


hecho:paola roman

Operaciones con funciones

-suma : f(x)+g(x)= (f+g)(x)

-resta : f(x)-g(x)= (f-g)(x)

-multiplicacion : f(x) * g(x)= (fg)(x)

-division : f(x)/g(x)= (f/g)(x); g(x)=0

g(x)/f(x)= (g/f)(x); f(x)=0

Ejemplo 1 . f(x)= 2x-4

g(x)= x-2

a.suma : (f+g)(x)=2x-4+x-2

=3x-6

b.resta : (f-g)(x)=2x-4-(x-2)->2x-4-x-2

=x-2

c.multiplicacion : (f *g )(x)=2x-4 * x-2

=2x2-4x-4x+8

=2x2-8x+8

d.division : (f/g)(x)= 2x-4/x-2

=2(x-2)/x-2

=2

Ejemplo 2. : f(x)=7x2+x

g(x)0=2x

hallar :

a.(f+g)(x)=7x2+x+2x

=7x2 + 3x

b.(f-g)(x)=2x-(7x2 + x)

=2x-7x2-x

= -x-7x2

c.(fg)(x)=(7x2+x)(2x)

=14x3 + 2x2

d.(f/g)(x)=7x2+x/2x

=x(7x+1)/2x

=7x+1/2

e.(g/f)(x)=2x/7x2+x

=2x/x(7x+1)

=2/7x+1

POR : Cherina Capella

Trazado de graficas

A. Desplazamieno Vertical
y=f(x)+c
* Si c > o , la grafica se mueve c unidades hacia arriba.
* Si c < o , la grafica se mueve c unidades hacia abajo.

ejemplos :

#1 f(x)=x^2

f(x)=x^2+2

#2 f(x)=x^3

f(x)=x^3-2

#3

f(x)=√x)

f(x)=√x)+3

#4

f(x)=√x)-3

#5

f(x)=1/x

f(x)=1/x+2

B. Desplazamiento Horizontal

(no respeta signos)

y=f (x+k)

*Si K >O , la grafica se mueve K unidades hacia la izquierda

*Si K

Ejemplos :

#1

f(x)=x^2

f(x)=(x+2)^2

#2

f(x)=√x+2)-3

#3

f(x)=(x-3)^2+2

f(x)=x-2+3

C. Reflejos

Eje de x

y=-f(x)

Ejemplos :

#1 f(x)=-x^2

#2

f(x)=-x^3

#3

f(x)=-x

#4

f(x)=-√x)

#5

f(x)=-1/x

#6

f(x)=-^3√x)

por: monica medina

Dominio de Funciones

A menudo el dominio de una funcion no aparece especificando; la funcion aparece indicada por una ecuacion en dos variables.

- En este caso : Df= {x E R / Y= f (x) E R}

Es decir, el dominio de la funcion f es el conjunto mayor de numeros reales, tales que el valor resultante f(x) es un numero real (conjunto de valores de x)

Determine el Dominio de las siguientes funciones

1. f(x) = x2

¿Que valores puede asumir x de manera que el valor que resulte sea real?

f(5)= (5)^2 = 25

f(-3)= (-3)^2 = 9

f(1/2)= (1/2)^2

*Df= {x/x E/R}

Ejemplo 2

f (x)= 9 +x

Preguntemonos ¿ Que valores debe asumir el radicando para la raiz cuadrada sea un numero real?

2 Restricciones para sacar el dominio de la funcion

* no puede haber negativos dentro de un radical

* no puede haber 0 el denominador de un fraccion

Ejemplo 3

f(x)= 1 / 2- x

Ejemplo 4

f(x)= 9 +x / 2-x

Df= [-9,2) U (2 , infinito)

Rango de una funcion

- El rango, alcance, campo de valores es el conjunto de todos los resultados (y) que surgen al evaluar la funcion en los elementos del dominio (conjunto de valores de y )

f(x)=x^2

Af= [0, infinito)

Rf= [0, infinito)

Graficas de funciones Basicas

1. funcion de identidad f(x)=x






2. funcion lineal
F(x)=mx+b








3. funcion cuadratica
f(x)=x^2













4. funcion cubica
f(x)=x^3







5. funcion valor absoluto
f(x)= /x/











6. funcion de raiz cuadrada
f(x)= x^(1/2)














7. funcion racional
f(x)= 1/x











8. funcion constante
f(x)=b










9. funcion raiz cubica
f(x)=X^(1/3)

















Evaluacion de funciones

f(x)=x^2-4x+2

1. f(3)= 3^2-4(3)+2
= 9-12+2
f(3)= -1

2. f(1/2)= (1/2)^2 -4(1/2)+2
= 1/4 -2+2
f(1/2)= 1/4

3. f(a)= a^2 -4a+2


4. f(x+2)= (x+2)^2 -4(x+2)+2
= x^2 +4x+4-4x-8+2
f(x+2)= x^2-2


hecho por: paola roman

Funciones

Definicion de relacion:

- una relacion es una regla que establece una correspondencia entre dos conjuntos.

- si x & y son dos elementos de los conjuntos x & y , decimos que x corresponde a y o y depende de x.

- tambien podemos escribir: x---------->y

- tambien podemos indicar la relacion como un conjunto de pares ordenados (x,y)

Definicion de Funcion:

- Sean x & y dos conjuntos no vacios. Una funcion de x a y es una relacion en la cual cada elemento del conjunto x le corresponde un unico elemento de y.

Definicion alterna de Funcion:

- una funcion es un conjunto de pares ordenados 9x,y) en el cual no existen 2 pares ordenados con el mismo primer elemento y segundo elemento diferente.