Teorema del Binomio

Considere los siguientes desarrollos de Potencias (a+b)elevado a la "n" es cualquier binomio. Observa el patrón en la imagen de la derecha:

Esta imagen es mejor conocido como el Triangulo de Pascal.

Blaise Pascal fue un matemático y físico. Fue uno de los mas eminentes de esa época. Se puede considerar a Pascal como fundador del calculo de probabilidades , formulado en 1654 como "geometría del azar ". Pascal trabajo en las secciones cónicas y desarrollo importantes teoremas en la geometría. Pascal murió a la edad de 39 años, después de sufrir un dolor intenso debido al crecimiento de un tumor maligno en su estómago que luego se le propagó al cerebro.

En la imagen de la parte superior pueden observar ejemplos de los binomios con los exponentes 3 y el otro con el 4.

combinaciones

Las combinaciones son variaciones en las que no se tiene en cuenta la orden de colocacion de los elementos.

Es decir que en el ejemplo anterior el elemento 23 es igual al elemento 32 y solo se cuenta una vez
** formula


ejemplo #1
Con las letras A,B,C,D, cuantas combinaciones se pueden hcer si se toman las cuatro letras ?
*Los resultados son :
ABCD=BACD=DBCA=CBAD


En total solo una ya que no se tiene en cuenta el orden para diferenciarlas es decir que es lo mismo ABCD que CBAD
**ejercicio


ejemplo #2
Melon quiere comprar 10 libros diferentes pero solamente tiene dinero para 4. De cuantas maneras puede hcer su seleccion?
*ejercicio




echo por : monica medina

Sucesos Independientes y dependientes

-Sucesos Independientes : Si el hecho de que ocurra uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.

-Sucesos Dependientes: Si el hecho de que uno ocurra afecta la probabilidad de que el otro ocurra.

Indica si casa suceso es dependiente o independiente:

Ejemplo:

1. Se lanza una moneda de diez centavos y cae cara y se lanza una moneda de cinco centavos y cae cara.

- independiente

2. En un juego de mesa, eliges una ficha de color y luego tu hermana elige otro color.

-dependiente

Probabilidad de Sucesos

Si A y B son sucesos independientes, entonces:

P( A y B) = P (A) . P (B)

Probabilidad

Ejemplos:

1.Un experimento consiste en elegir al azar una canica de una bolsa, devolverla y elegir otra canica. En la bolsa hay 7 canicas azules y 3 canicas amarillas Cual es la probabilidad de sacar una canica amarilla primero y una azul despues?

- P ( amarillas , azules) = P(amarillo) x P(azul)

= 3/10 x 7/10

= 21/100

= 21 %

2. Si usted lanza dos dados y ambos caen en el mismo numero se dice que lanza doble Cual es la probabilidad de lanzar doble consecutivamente?

P (dobles, dobles,dobles)= P (dobles).P(dobles). P (dobles)

= 1/6 x 1/6 x 1/6

= 1/216

= .004

= 004%

3. Un experimento consiste en hacer girar dos veces la rueda Cual es la probabilidad de que la rueda caiga las dos veces en un numero impar?

3 Impares

6 numeros 3/6 = 1/2

P(impar, impar) = P (impar) P (impar)

= 1/2 x 1/2

= 1/4

= .25 = 25 %

por : Genesis Astor

Permutaciones

Tema : Permutaciones

-Una permutacion es una formade ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto. Se simboliza : Pn = n!

-En la permutacion si importa el orden.

-Se lee permutaciones de n elementos tomados de n en n es igual a n factorial.

-Ejemplo : Con los numeros 1,2,3,4. Cuantos numeros difererntes de 4 cifras se pueden construir ?

Pn = 4! (4)(3)(2)(1) = 24

- Se pueden construir 24 numeros diferentes.

Subtema : Permutaciones con repeticion.

-Corresponden a permutaciones en las que uno o varios elementos del grupo estan repetidos

Pn (r) = n! / r!

Ejemplo :

Con cada letra de la palabra c a s a, Cuantas palabras se pueden construir ? Se observa que la letra a esta repetida 2 veses.

P4(r = 2) = 4x3x2x1/2x1 = 12

formula : P ( n,r ) = n! / r!

Cuantos numeros de 3 digitos que no se repiten pueden escribirse con los digitos del conjunto :

{ 3,4,5,6,7,8 }

P (n,r) = n! / r!

n = 6

r = 3

P(6,3) = 6! / (6-3)! = 6! / 3! = 61 = 120

Ejemplo : De cuantas maneras podemos distribuir 3 monedas de 5 centavos y 4 monedas de 10 centavos de tal forma que las 7 monedas queden alineadas ? ( permutacion con repeticion )

P7 (r : 3,4) = 7! / 3!4! = 7 6 5 4 3 2 1 / 3x2x1 * 4x3x2x1 = 35

hecho por : Cherina Capella :)

Probabilidad Experimental

La probabilidad experimental es la razón entre la cantidad de veces que ocurre en suceso y la cantidad de prueba.

P.E. = cantidad de veces que ocurre un suceso / cantidad de prueba.

Ejemplo: resultado frecuencia

rojo 7

azul 8

verde 5

Un experimento consiste en girar una rueda. Usa los resultados de la tabla para hallar la probabilidad experimental de cada suceso.

A: la rueda cae en azul.

P.E. = 8/20= 2/5= 0.4 = 40%

B: la rueda cae en rojo.

P.E. = 7/20= 0.35= 35%

C: la rueda cae en verde.

P.E. = 5/20= 0.25= 25%

D: no cae en verde.

P.E.= 15/20= 0.75= 75%

Probabilidad Teórica

La probabilidad teórica es la razón entre la cantidad de manera en las que puedes ocurrir un suceso y el total de resultados igual mente probable.

P.T. = a la cantidad de manera que puede ocurrir el suceso / el total de resultados igualmente probable.

Resultado igualmente probable Resultados no igualmente probable

-Existe la misma probabilidad - Hay mas probabilidad de que la rueda caiga en azul.

de que caiga en cualquiera de

los cuatro colores.

Poncentual Anual o APR

APR representa la tasa de interes anual real que el consumidor paga por un financiamiento. En el caso de un financiamiento cn interes de add-on, el interes se determina aplicando la formula de interes simple (I= Prt) con la tasa anual, la cantidad total durante un tiempo determinado.

ej. TV Sony 55" LED APR= 2Nr/ N+1
$4,500.00
36 meses n= cantidad de meses a financiar
r= 8% r= tasa de interes


APR= 2(36)(0.08)/ 36+1
= 0.16 I= Prt
= 16% = (4,500)(0.16)(3)
= $2,160.00

A= P+I
= 4,500+2,160
= $6,660

mensualidad: 6,660/ 36 = $185.00



ej. 2 Un prestamo personal de $3,000 con una tasa de interes del 12% con un termino de 5 anos. Cual es la mensualidad?

APR= 2(60)(0.12)/ 60+1 I= Prt
= 0.24 = 3,000(0.24)(5)
= 24% = $3,600


I= P+I mensualidad: 6,600/ 60 = $110
= 3,000+3,600
= $6,600

Probabilidad y Probabilidad Experimental

Probabilidad

- mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.

ejemplo 1:

Tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un numero par, o que salga un numero menor que cuatro.

- el experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aun realizando el experimento en las mismas condiciones. Por o tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar.

ejemplo 2:

Lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.

Probabilidad Experimental

a. Experimento: actividad en la que participa la probabilidad.

b. Prueba: Cada repetición u observación de un experimento.

c. Resultado: cada una de las consecuencias posibles.

d. Espacio Muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles.

ejemplo 1:

indica el espacio muestral para cada experimento.

1. lanzar dos monedas

{CaraCara, CruzCara, CruzCruz, CaraCruz}

2. girar dos ruedas

{RojoRojo, AzulAzul, VerdeVerde, RojoAzul, ...}

e. Suceso: es un resultado o conjunto de resultados de un experimento.

f. probabilidad: es la medida de la posibilidad de que un suceso ocurra.

- Las probabilidades se escriben como fracciones o decimales desde el 0 al 1 o como porcentajes desde 0% a 100%

|-------------------------------|----------------------------|

imposible improbable 50% probable seguro

0% 100%

- Los sucesos con 0% de probabilidad no ocurren, NUNCA.

- Los sucesos con 50% tienen la misma probabilidad de ocurrir como de no ocurrir.

- Los sucesos con un 100% de probabilidad ocurren SIEMPRE.